La relazione di Eulero lega tra loro il numero delle facce, quello dei vertici e quello degli spigoli di ogni poliedro e venne indipendentemente dimostrata da Cartesio (1596-1650) e dal matematico svizzero Leonard Euler (1707-1783). 

In ogni poliedro, indicati con f il numero delle facce, con v il numero dei vertici e con s il numero degli spigoli, vale la relazione

f + v - s = 2

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Consideriamo un poliedro qualunque e sia f + v - s = x. Dobbiamo dimostrare che x = 2. Dalla superficie poliedrica che lo delimita "togliamo" una faccia (figura II). Se nel poliedro di partenza si aveva f + v - s = x, ora, nella superficie poliedrica aperta, si ha f + v - s = x - 1: abbiamo infatti tolto una faccia, ma sono rimasti uguali sia il numero dei vertici che quello degli spigoli. In ognuna delle facce della superficie poliedrica tracciamo, a partire da uno qualunque dei vertici, tutte le diagonali della faccia. In tale modo la superficie poliedrica appare essere formata da tutte "facce" triangolari (le chiamiamo "facce", e quindi chiamiamo "spigoli" tali diagonali, anche se, essendo esse complanari ed adiacenti, il termine usato non è del tutto proprio(figura III). Con tale triangolazione, non abbiamo aggiunto vertici e per ogni "spigolo" aggiunto si è aggiunta anche una "faccia". Anche per questa superficie poliedrica a triangoli, si ha perciò f + v - s = x - 1. Ora "togliamo"successivamente, una per volta, le facce di questa superficie poliedrica aperta a triangoli, togliendo ogni volta solo triangoli che abbiano almeno uno spigolo "libero" (non comune, cioè, ad altre facce non tolte). 

Sono possibili due casi:

- operazione di tipo a: si toglie un triangolo che ha un solo spigolo libero e quindi diminuisce di 1 sia il numero delle facce sia quello degli spigoli       dopo questa operazione la relazione è: (f - 1) + v - (s - 1) = f + v - s = x - 1

        e rimane inalterata.

- operazione di tipo b: si toglie un triangolo che ha due spigoli liberi e quindi il numero delle facce diminuisce di 1, quello degli spigoli diminuisce di 2 e quello dei vertici di 1; dopo questa operazione si ha: (f - 1) + (v - 1) - (s - 2) = f + v - s = x - 1

        e la relazione rimane inalterata.

Con successive operazioni di tipo a o di tipo b si giunge necessariamente ad un solo triangolo che, ovviamente, ha una sola faccia, 3 vertici e 3 spigoli. Deve essere pertanto f + v - s = 1 + 3 - 3 = 1.

In tutte le successive operazioni f + v - s è sempre rimasta uguale a x - 1; perciò x - 1 = 1 » x = 2.