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PARADOSSI Storie di illusioni e verità rovesciate Alessio Vezzoni - 5^BLT |
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PARADOSSI Storie di illusioni e verità rovesciate Alessio Vezzoni - 5^BLT |
Per tre volte nella storia i paradossi sono stati al centro dell'attenzione: nel periodo greco, nel medioevo e a cavallo tra Ottocento e Novecento. I diversi nomi che gli furono attribuiti nei diversi periodi,fanno capire cosa rispecchiavano questi paradossi per gli uomini di allora. Per i greci erano paralogismi, “oltre la logica”, per i medioevali insolubila, cioè “problemi insolubili” infine per noi “moderni” sono antinomie, “contro le regole” o, appunto, paradossi, “oltre l'opinione comune”.
Nel tempo ci furono cambiamenti di prospettive, da puri e semplici errori di ragionamento i paradossi divennero rivalutati prima come dilemmi inspiegabili e poi come problemi del senso comune.
Oggi i paradossi vengono definiti come semplici verità che mostrano discrepanze tra le credenze che rendono un'affermazione impossibile e la logica che rende un argomento, in loro difesa, corretto. L'unica soluzione possibile richiede una revisione radicale delle credenze, della logica o di entrambe.
In matematica, alla luce di nuovi concetti introdotti per risolvere determinati paradossi, i vecchi paradossi non cessano di essere tali ma si trasformano addirittura in nuovi teoremi o definizioni e appaiono finalmente come pure e semplici verità come accadde per il paradosso di Russell che ridefinì i fondamentali dell'insiemistica.
Nel 1902 Russell scoprì che anche la matematica non era immune dalla malattia della contraddizione, costruendo un paradosso all'interno della teoria degli insiemi, che sarà poi sviluppata da Cantor e Frege.
La crisi dei fondamenti che aveva investito la geometria con l'introduzione delle geometrie non euclidee, interessò anche altri aspetti della matematica.
Verso la fine del XIX secolo e in particolare all'inizio del XX secolo la crisi colpi anche le fondamenta della teoria degli insiemi, costringendo matematici e logici a revisionare tali teorie dalla base.
Il paradosso di Russell, a questo proposito, è considerato una delle più celebri antinomie della storia del pensiero logico e matematico: la sua scoperta ebbe ampia risonanza all’interno della comunità di studiosi che agli inizi del Novecento si occupavano della sistemazione dei fondamenti della matematica. Il paradosso recita così:
Un villaggio ha tra i suoi abitanti uno ed un solo barbiere, uomo ben sbarbato. Sull'insegna del suo negozio è scritto "il barbiere rade tutti - e unicamente - coloro che non si radono da soli".
La domanda a questo punto è: chi rade il barbiere? Una semplice analisi dell’antinomia porta alla luce un’evidente contraddizione.
Se infatti il barbiere si rade da solo, violiamo la premessa secondo cui il barbiere, rasandosi, non raderebbe unicamente coloro che non si radono da soli.
Se invece il barbiere è raso da qualcun altro, si viola la premessa secondo cui il barbiere rade tutti coloro che non si radono da soli: per dirla in altre parole, il barbiere se si rade da solo non dovrebbe radersi, se non si rade da solo dovrebbe radersi. Eppure il barbiere è ben sbarbato...
Una trattazione di tipo insiemistico semplifica l'approccio al paradosso. Innanzitutto, ci si rende conto di trovarsi di fronte a due insiemi distinti:
Il problema è collocare il barbiere in uno dei due insiemi, poiché la sua inclusione in entrambi gli insiemi creerebbe una contraddizione con la definizione stessa degli insiemi (come spiegato in precedenza).
Il paradosso può però essere generalizzato fino alle fondamenta della teoria degli insiemi. E appunto una generalizzazione di questo problema portò ad una antinomia che causò un momento di crisi di tutta la teoria matematica dell'epoca.
La conclusione a cui arriverà inizialmente Russell sarà quella di affermare che non basta descrivere una proprietà di un insieme per garantire la sua esistenza. In seguito, introdurrà una nuova teoria degli insiemi nella quale gli insiemi si distinguono in diversi livelli, per cui al livello 0 avremo gli elementi, al livello 1 gli insiemi di elementi, al livello 2 gli insiemi di insiemi di elementi e così via. In questa ottica, è possibile risolvere l'antinomia ed il paradosso.
Cominciamo con l’osservare che è possibile definire insiemi che contengono se stessi come elemento e insiemi che non hanno se stesso come elemento.
Ad esempio ‘l’insieme di tutti gli insiemi che siano definibili con meno di venti parole’ contiene se stesso come elemento visto che per definirlo sono state sufficienti 14 parole, analogamente ‘l’insieme di tutti i concetti astratti’ è esso stesso un concetto astratto. Al contrario però l'insieme ditutte le automobili non è un auto e nemmeno l'insieme di tutte le forchette è una forchetta. Definiamo cosi i due tipi di insieme: gli ‘ordinari’, cioè gli insiemi che non contengono se stessi come elemento e gli ‘straordinari’ quelli che contengono se stessi come elemento.
Definiamo adesso S come ‘l’insieme di tutti gli insiemi ordinari’ e chiediamoci se S sia un insieme ordinario oppure straordinario. Ovviamente deve essere o l’uno o l’altro. Se S fosse ordinario conterrebbe se stesso come elemento poiché S per definizione contiene tutti gli insiemi ordinari, ma allora S deve essere straordinario visto che gli insiemi straordinari sono quelli che contengono se stessi come elemento. Viceversa se S fosse straordinario non conterrebbe se stesso come elemento poiché S perdefinizione contiene solo gli insiemi ordinari, ma allora S deve essere ordinario perché non contiene se stesso come elemento. In entrambi i casi si è giunti ad una contraddizione.
Qualcuno potrebbe obiettare che l’utilità di considerare insiemi straordinari sia estremamente bassa; potremmo quindi decidere che solo gli insiemi ordinari siano ben definiti e lasciar perdere gli altri limitandoci a formulare proposizioni e teoremi sugli oggetti contenuti nell’‘insieme di tutti gli insiemi ordinari’. Purtroppo questo è proprio l’insieme S da cui scaturisce paradosso!
Il paradosso fu scoperto da Bertrand Russell nel 1901 mentre si dedicava allo studio della teoria degli insiemi di Cantor su cui contemporaneamente Frege stava realizzando la riduzione della matematica alla logica.
Russell si rese subito conto delle conseguenze che la sua scoperta avrebbe avuto per il programma logicista e non esitò a mettersi immediatamente in contatto col logico di Jena. Il caso volle però che la lettera di Russell fosse recapitata a Frege nell’estate del 1902 poco prima della pubblicazione del secondo e ultimo volume dei Principî di aritmetica.
Frege prese atto delle conseguenze distruttive per il sistema che aveva costruito in quegli anni e decise di scrivere un’appendice ai suoi Principî in cui confessava il fallimento della sua opera.
L’esplicitazione del paradosso russeliano mostrava che, se il concetto più generale e originario che fondava la matematica, quello di insieme, si rivelava denso di difficoltà logiche, c’era da temere che potesse essere invalidato sostanzialmente tutto l’edificio concettuale su cui si basava la matematica, dall’aritmetica all’algebra alla geometria.
Fu allora evidente l’esigenza di dare assetto logico rigoroso ai presupposti della matematica, sia a riguardo dei contenuti che dei procedimenti logici deduttivi che essa utilizza. Si doveva insomma chiarire quali fossero i requisiti fondamentali perché un’insieme di conoscenze e affermazioni potesse essere considerato una teoria formale fondata e accettabile< in senso scientifico. Il matematico Hilbert fu tra i massimi esponenti della corrente di revisione della matematica, che prese il nome di formalismo proprio perché con essa si cercava di garantire un assetto logico-formale alle teorie.
Nel formalismo, anzitutto, i termini, gli assiomi e le regole di deduzione sono pensate come< prive di significato e di riferimento all’intuizione comune, ed espresse in simboli: è il trionfo dell’astrazione, per cui si può pensare coerentemente che da un punto fuori di una retta data passi una sola retta ad essa parallela, e il contrario di questo.
Quindi, la scelta degli assiomi venne sviluppata tenendo conto di tre proprietà fondamentali: la coerenza, secondo la quale gli assiomi devono essere compatibili o non contraddittori, l’indipendenza, secondo cui ogni assioma deve dire qualcosa che gli altri non abbiano già detto, e la completezza, secondo cui ogni proposizione formulata con i termini del sistema deve essere dimostrabile.